在一个飘雪的1月，我请一群大学生告诉我，当他们想到数学时，第一个浮现在脑海里的词是什么。排在前两位的是“计算”和“方程”。
当我问一群职业数学家同样的问题时，他们没有提到这两个词；取而代之的是，他们给出了“批判性思维”和“解决问题”之类的短语。
这很普遍，令人遗憾。职业数学家对数学的理解，与普通大众对数学的理解完全不同。当如此多人将数学等同于计算时，难怪我们会经常听到“我讨厌数学”。
因此，我决定以一种有些非传统的方式来解决这个问题。我选择在我的机构卡塔基学院开设一门名为“编织中的数学”的课程。在这门课上，我选择完全摒弃铅笔、纸张、计算器（天哪！）和教科书。取而代之的是，我们通过交谈、动手实践、绘画，并使用从沙滩球到卷尺等各种工具。作为家庭作业，我们通过写博客来反思。当然，我们还进行编织。
相同但不同
数学内容的一个核心是方程，而等号对它至关重要。像 x = 5 这样的方程告诉我们，令人畏惧的 x，代表着某个数量，其值与 5 完全相同。数字 5 和 x 的值必须完全一致。
典型的等号是非常严格的。任何与“完全”有微小偏差，都意味着两者不相等。然而，在生活中，常常存在两个数量并不完全相同，但根据某些有意义的标准，它们本质上是相同的。
例如，想象一下，你有两个方形靠垫。第一个靠垫顶部是红色，右侧是黄色，底部是绿色，左侧是蓝色。第二个靠垫顶部是黄色，右侧是绿色，底部是蓝色，左侧是红色。
这两个靠垫并不完全相同。一个顶部是红色的，而另一个顶部是黄色的。但它们 certainly 是相似的。事实上，如果将那个顶部为红色的靠垫逆时针旋转一次，它们就会完全相同。
我可以将同一个靠垫放在床上，但看起来像一个不同的靠垫，有多少种不同的方式？稍微做点功课就会发现，有 24 种可能的彩色靠垫配置，但只有八种可以通过移动一个给定的靠垫获得。
学生们通过编织由两种颜色组成的靠垫，并使用编织图来展示这一点。
学生们制作了方形编织图，图上的所有八种运动都能产生不同的视觉效果。然后将这些图编织成靠垫，通过实际移动靠垫来展示图形的等价性。
橡胶片几何
我们涵盖的另一个主题有时被称为“橡胶片几何”。其理念是想象整个世界都是由橡胶制成的，然后重新想象形状会是什么样子。
让我们通过编织来理解这个概念。编织圆形物体（如帽子或手套）的一种方法是使用称为双头针的特殊编织针。在制作过程中，帽子由三根针塑造，使其看起来呈三角形。然后，一旦从针上取下，有弹性的纱线就会放松成圆形，形成一个更典型的帽子。
这就是“橡胶片几何”试图捕捉的概念。不知何故，如果一个三角形和一个圆形是由柔性材料制成的，它们可以是相同的。事实上，在这个研究领域中，所有的多边形都变成了圆形。
如果所有的多边形都是圆形，那么还剩下什么形状呢？即使物体具有柔韧性，也有一些特征是可区分的——例如，形状是否有边缘或无边缘，是否有孔洞或无孔洞，是否有扭曲或无扭曲。
编织中的一个不等同于圆形的例子是无限围巾。如果你想在家制作一条纸做的无限围巾，取一条长纸条，将短边粘在一起，将左上角连接到右下角，将左下角连接到右上角。然后用箭头向上画，沿着整个物体。你会看到一些很酷的事情发生。
该课程的学生花了一些时间编织像无限围巾和头带这样的物品，即使它们是由柔性材料制成的，但它们是不同的。添加像箭头这样的标记有助于直观地理解物体到底有何不同。
不同的风味
如果本文描述的内容听起来不像数学，我想强调它们非常像数学。这里讨论的主题——抽象代数和拓扑学——通常是为大学高年级数学专业的学生保留的。然而，这些学科的理念在拥有合适的媒介时，非常容易理解。
在我看来，没有理由将这些不同风味的数学隐藏起来，或者像强调传统数学那样强调它们。此外，研究表明，使用可以物理操作的材料可以提高各个学习级别的数学学习能力。
如果更多的数学家能够放下传统的技巧，似乎就有可能克服世界范围内普遍存在的、将计算等同于数学的误解。也许，还有一些人能够拥抱数学思维；如果不是比喻意义上的，那么就是字面意义上的，带着一个靠垫。
Sara Jensen 是卡塔基学院的数学助理教授。本文最初发表在 The Conversation 上。
