数学在数学家眼中是什么样的?

节选:《数学烂图集》
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当数学家看到 7 x 11 x 13 时 《数学烂图集》/Ben Orlin
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你看到了什么?Deposit photos

数学家眼中的数学是什么样的?很简单。数学就像语言。

我承认,这是一种有趣的语言。它信息密集,言简意赅,阅读起来费时费力。我可以飞快地读完五章《暮光之城》,而你在数学课本上可能连一页都翻不完。这种语言很适合讲述某些故事(例如,曲线与方程之间的关系),却不适合讲述其他故事(例如,女孩与吸血鬼之间的关系)。因此,它拥有一套独特的词汇,包含了其他语言中没有的词语。例如,即使我能将 a0 + ∑ n=1 (an cos(nπx/L) + bn sin(nπx/L) 翻译成通俗易懂的英语,但对于不熟悉傅里叶分析的人来说,它毫无意义,就像《暮光之城》对于不熟悉青春期荷尔蒙的人来说毫无意义一样。

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《数学烂图集》,作者:Ben Orlin。Ben Orlin

但数学至少在一点上是一种普通的语言。为了理解,数学家会采用大多数读者都熟悉的方法。他们会形成心理意象。他们在脑海中进行意译。他们会跳过分散注意力的技术细节。他们会在阅读内容和已有知识之间建立联系。而且——尽管听起来有些奇怪——他们还会调动情感,在阅读材料中找到乐趣、幽默感,甚至一丝不适。

现在,这一简短的章节无法教会你流利的数学,就像它无法教会你流利的俄语一样。正如文学评论家可能会争论 Gerard Manley Hopkins 的一联诗句或一封电子邮件中模棱两可的措辞一样,数学家也会在细节上存在分歧。每个人都带着由一生经验和联想形成的独特视角。

即便如此,我还是希望能提供一些非字面意义的翻译,一些让数学家得以阅读实际数学的策略的瞥见。请将此视为“弯曲符号理论”入门课。

我经常从学生那里听到一个问题:“我先乘以11或先乘以13,有区别吗?”答案(“没有”)不如这个问题本身有趣,它揭示了:在我的学生眼中,乘法是一种行为,是你要做的事情。因此,我教给他们最难的课程之一是:有时,不要做。

你不必将 7 × 11 × 13 视为一个指令。你也可以把它看作一个数字,然后让它就那样存在。

每个数字都有很多别名和艺名。你也可以称这个数字为 1002 – 1,或者 499 × 2 + 3,或者 5005/5,或者“拯救地球的数字”杰西卡,或者就叫普通的 1001。但如果 1001 是这个数字在朋友中的称呼,那么 7 × 11 × 13 就不是什么古怪而随意的绰号。相反,它是你会在出生证明上找到的官方名称。

7 × 11 × 13 是质因数分解,它包含了很多信息。

一些关键背景知识:加法有点无聊。也就是说,将 1001 写成两个数字的和是一个非常枯燥的消遣:你可以写成 1000 + 1,或者 999 + 2,或者 998 + 3,或者 997 + 4……以此类推,直到你因无聊而昏迷。这些分解并没有告诉我们关于 1001 的任何特殊信息,因为几乎所有数字都可以以几乎相同的方式分解。(例如,18 可以写成 17 + 1,或者 16 + 2,或者 15 + 3……)从视觉上看,这就像把一个数字分成两堆。恕我直言,堆很蠢。

乘法:这才是真正有趣的地方。要加入这场盛宴,你需要运用我们的第一个数学阅读策略:**形成心理意象**。

正如上一页的图所示,乘法就是关于网格和阵列。1001 可以看作一个巨大的积木结构,7×11×13。但这仅仅是开始。

你可以将其可视化为 13 层,每层 77 个。或者,如果你将头侧向一边,那就是 11 层,每层 91 个。或者,将头朝另一个方向侧倾,那就是 7 层,每层 143 个。所有这些分解 1001 的方式都可以从质因数分解中直接看出……但如果不经过费力的猜测,几乎不可能从名称 1001 中辨别出来。

质因数分解是一个数字的 DNA。从中,你可以读出所有的因子和因数分解,那些能整除我们原始数字的数,以及那些不能的数。如果数学是烹饪课,那么 7 × 11 × 13 就不是松饼食谱。它是松饼本身。

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当数学家看到圆的面积公式时。《数学烂图集》

对于普通爱好者来说,π 是一个神秘的符文,是数学魔法的象征。他们思考它的无理数性,记忆它成千上万的数字,并在 3 月 14 日纪念圆周率日,将人类最辉煌的艺术(甜点派)与最不辉煌的艺术(双关语)结合起来。对公众来说,π 是一个令人痴迷、敬畏、甚至近乎崇拜的对象。

而对数学家来说,它大约是 3。

那个让非专业人士着迷的无限小数位数?嗯,数学家并不太在意。他们知道数学不仅仅是精确;它还关乎快速估算和巧妙的近似。在建立直觉时,简化和精简很有帮助。**巧妙的模糊性**是我们下一个重要的数学阅读策略。

以公式 A = πr2 为例,许多学生对此耳熟能详,以至于“圆的面积”这几个字就会让他们像被洗脑的潜伏特工一样尖叫:“Pi r squared!”这是什么意思?为什么它是真的?

好了,忘了 3.14159 吧。让你的思绪变得模糊。只看形状。

r 是我们圆的半径。它是一个长度。

那么 r2 就是一个小正方形的面积,就像图中所示的那个。

那么, π 美元问题:圆的面积与正方形的面积相比如何?

显然,圆更大。但它不到四倍大(因为四个正方形会覆盖这个圆,甚至还有剩余)。目测一下,你可能会推测这个圆的大小略大于正方形的三倍。

这正是我们的公式所说的:面积 = 略大于 3 × r²

如果你想验证精确值——为什么是 3.14 左右而不是 3.19 左右?——那么你可以使用证明。(有几种很棒的演示方法;我最喜欢的是像剥洋葱一样剥开圆,然后将这些层叠起来形成一个三角形。)但数学家,无论他们如何坚持,并不总是从头开始证明一切。就像木匠和动物园管理员一样,只要他们能理解某个工具为何有效,他们就乐于使用它,而无需精确知道它是如何制造的。

节选自 《数学烂图集》 ,作者:Ben Orlin。2018年9月,Black Dog and Leventhal Publishers 出版。经许可发布。

 

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Ben Orlin

作者

Ben Orlin是一位数学老师,但不会画画。


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