如果你曾经在搬进新公寓时，在狭窄的拐角处为挤进一张沙发而苦恼，那么你可能会觉得被称为“沙发问题”的纯粹数学问题非常 relatable。
该问题旨在找到一个能够在给定宽度的走廊的90度拐角处滑动的沙发所能达到的最大面积。数学家们长期以来一直怀疑答案在于一种叫做Gerver沙发（Gerver’s sofa）的形状。 现在，一位韩国的博士后研究员可能终于提供了确凿的证据，证明了他们的猜测是正确的。
什么是Gerver沙发？
尽管多年来许多愁眉苦脸的搬家工人可能都思考过这个问题，但这个问题最早是在1966年由数学家Leo Moser正式提出的。1992年，Joseph L. Gerver展示了一种后来被称为Gerver沙发形状的构造，并表示它提供了能够转动拐角的形状的最大可能面积。数学家们长期以来一直怀疑他是正确的，但没有人能够得出确凿的证明。
数学家Jineon Baek（他是该问题的作者，发表了长达119页的论文）挺身而出，将该论文提交给了arXiv预印本服务器。论文的结论是Gerver的猜想是正确的：Gerver沙发，其面积为2.2195个单位（假设走廊宽度为1个单位），确实是我们能做到的最好。
你首先会注意到Gerver沙发，嗯，它看起来一点也不像你客厅里的沙发。Baek是韩国延世大学的一名博士后研究员，他告诉《大众科学》，这里的“沙发”一词更像是一个可爱的昵称，指的是一个“理论形状”，他将其描述为“看起来像一个老式电话”。
那么，为什么Gerver沙发会是这样的形状呢？简单来说，是因为这种形状在能够持续绕过拐角滑行的同时，最大化了它的面积。中间的大型镂空允许它绕过拐角进行枢转，而每个相对角落的曲线则允许它沿着墙壁滑动。
Baek解释说，Gerver通过假设沙发必须始终接触墙壁来构造这个形状。“[墙壁与沙发的接触点]形成曲线，勾勒出沙发的边界，”他说。
优化这些曲线——以最大化形状面积的方式构造它们——就得到了Gerver沙发。这个形状本身实际上极其复杂，这也是多年来这个问题一直难以解决的原因之一。
除了Gerver和Baek之外，多年来还有其他数学家也研究过这个问题，他们的集体研究成果已经确定了沙发的最小和最大可能面积。下限由Gerver本人确定，而上限——2.37——则在Yoav Kallus和Dan Romik于2017年发表的一篇论文中得到证明。
换句话说，数学家们知道沙发的最大面积介于2.2195和2.37之间，但不知道具体是多少。Baek说，他的论文回答了这个问题，证明了下限实际上就是沙发能达到的最大尺寸。
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沙发证明
Baek解释说，他的证明有三个步骤。第一个是确认最大化沙发面积的最优形状确实是Gerver沙发传统的电话状。第二个是确定该形状的确切外观。第三个是确定该形状的面积上限。
第三步是最棘手的，因为计算Gerver沙发的面积并不简单。该形状的特性意味着没有简单的公式可以确定其面积。
“[原始沙发的形状]可以以任意方式改变……它可能包含比，比如说，100个不同的曲线，”Baek解释说。“而且你甚至无法控制[所需的]不同曲线的数量。所以[它的面积]没有一个具体的公式。”
为了解决这个问题，Baek构造了另一个形状，它本质上是Gerver沙发的一个简化版本，表明这个形状必须包含整个沙发。换句话说，如果你取一个特定长度和宽度的Gerver沙发，它总是会包含在一个相同尺寸的简化沙发内。
由于简化形状的面积很容易计算，并且它总是包含沙发的形状，因此找到优化简化形状的方法将为Gerver沙发设定一个上限。
因此，Baek着手找出简化形状可能的最大尺寸及其最优形状。结果发现其形状和尺寸与Gerver沙发相同。这一结果意味着最优沙发的下限和上限相同，因此Gerver沙发是能够绕过拐角的最大可能沙发。
“我利用凸优化和几何来实际优化[简化形状的面积]，最优解就是Gerver沙发，完成了证明，”Baek说。
沙发，挺好
虽然这个答案不一定会帮助你把普通的矩形沙发挤过狭窄的拐角，但它确实有潜在的实际应用。Baek解释说，这个问题将运动规划（研究如何以最有效的方式将物体从一点移动到另一点的学科）和面积优化（一门研究如何最大化给定形状面积的纯数学学科）领域结合了起来。
尽管如此，Baek还是强调，就像数学研究中许多被研究的问题一样，沙发问题源于数学家们的好奇心和拓展知识的愿望。“就像许多纯数学结果一样，它…很可能这个结果本身不会在现实生活中得到应用。”
不过，Baek说他正在寻找一件新家具来庆祝解决这个近60年的数学问题。
“我还是想在我的办公室角落里放一个实体的Gerver沙发，我 actually 可以坐上去！”
