3 月 20 日，美籍加拿大 数学家 罗伯特·朗兰兹（Robert Langlands）获得了阿贝尔奖，以表彰他在数学领域的终生成就。朗兰兹的研究表明，几何、代数和分析等概念可以通过与素数这一共同联系结合起来。
当挪威国王于 5 月向朗兰兹颁发奖项时，他将表彰一项长达 2300 年、旨在理解 素数 的努力，素数可以说是数学中最大、最古老的数据集。
作为一名致力于“朗兰兹纲领”的数学家，我着迷于素数的历史以及近期进展如何揭示它们的奥秘。为什么它们几千年来一直吸引着数学家？
如何找到素数
为了研究素数，数学家们将整数通过一个又一个虚拟的筛网过滤，直到只剩下素数。这种筛选过程在 19 世纪产生了数百万个素数的表格。它使当今的计算机能够在不到一秒钟的时间内 找到数十亿个素数。但筛法的核心思想在 2000 多年来从未改变。
“素数是只能被单位整除的数，” 数学家欧几里得在公元前 300 年写道。这意味着素数除了 1 之外，不能被任何更小的数整除。根据惯例，数学家不将 1 本身视为素数。
欧几里得证明了素数的无穷性——它们无穷无尽——但历史表明，是埃拉托斯特尼为我们提供了快速列出素数的筛法。
筛法的思路是这样的。首先，滤除 2 的倍数，然后是 3 的倍数，接着是 5 的倍数，再然后是 7 的倍数——这四个是前四个素数。如果你对 2 到 100 之间的所有数字都这样做，就只会剩下素数。
通过八次筛选，可以分离出 400 以内的素数。通过 168 次筛选，可以分离出一百万以内的素数。这就是埃拉托斯特尼筛法的威力。
表格，表格
约翰·佩尔（John Pell）是 编排素数表 的早期人物之一，他是一位英国数学家，致力于创建有用的数字表格。他最初是为了解决丢番图的古老算术问题，但也出于个人整理数学真理的愿望。得益于他的努力，一百万以内的素数在 1700 年代初被广泛传播。到 1800 年，独立的项目已经编排了 100 万以内的素数表。
为了自动化繁琐的筛选步骤，一位名叫卡尔·弗里德里希·兴登堡（Carl Friedrich Hindenburg）的德国数学家使用了可调节的滑块，一次性在整页表格上划掉倍数。另一种低技术但有效的方法是使用模板来定位倍数。到 19 世纪中叶，数学家 雅各布·库里克（Jakob Kulik） 开始了一项雄心勃勃的项目，旨在找到 1 亿以内的所有素数。
19 世纪的这些“大数据”可能只充当参考表，如果 卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss） 没有决定对素数本身进行分析的话。高斯拥有一个包含 300 万以内素数的列表，他开始一次计算一个“千位数”，或者说每 1000 个单位一组。他计算了 1000 以内的素数，然后是 1000 到 2000 之间的素数，然后是 2000 到 3000 之间的素数，等等。
高斯发现，随着他计算的数字越来越大，素数的频率按照“倒数对数”规律逐渐降低。高斯的规律并没有精确地显示有多少素数，但它给出了一个相当好的估计。例如，他的规律预测在 1,000,000 和 1,001,000 之间有 72 个素数。而 正确的计数是 75 个素数，误差大约为 4%。
在高斯首次探索一个世纪后，他的规律在 “素数定理” 中得到了证明。误差百分比在大范围的素数中越来越接近零。黎曼猜想，一个如今价值百万美元的奖项难题，也描述了高斯估计的准确性。
素数定理和黎曼猜想吸引了关注和资金，但它们都建立在早期、不那么光鲜的数据分析之上。
现代素数之谜
如今，我们的数据集来自计算机程序而不是手工模板，但数学家们仍在发现素数的新模式。
除了 2 和 5 之外，所有素数的个位数都是 1、3、7 或 9。在 19 世纪，人们证明了这些可能的个位数出现频率是均等的。换句话说，如果你查看一百万以内的素数，大约有 25% 的个位数是 1，25% 是 3，25% 是 7，25% 是 9。
几年前，斯坦福大学的数论学家 Lemke Oliver 和 Kannan Soundararajan 对素数个位数的奇特性感到惊讶。一项 实验 研究了素数的个位数，以及紧随其后的下一个素数的个位数。例如，23 的下一个素数是 29：它们的个位数分别是 3 和 9。在素数的个位数中，3 后面跟 9 的情况是否比 3 后面跟 7 的情况更常见？
数论学家们预计会有一些变化，但他们发现的结果大大超出了预期。素数之间有不同的间隔；例如，23 和 29 相隔六个数字。但像 23 和 29 这样的 3-然后-9 素数比 7-然后-3 素数更常见，尽管它们都来自于六的间隔。
数学家们很快找到了一个 合理的解释。但是，在研究连续素数方面，数学家们（大多）仅限于数据分析和说服。而证明——数学家们衡量事物真伪的黄金标准——似乎还要几十年。
Martin H. Weissman 是加州大学圣克鲁兹分校的数学副教授。本文最初发表在 The Conversation 上。
