大约 20 年前，我和我的同事 Chau Tran 博士开发了一种在计算机上模拟数百万个篮球轨迹的方法。我们去了我们所在北卡罗来纳州立大学的教练和助理教练那里，告诉他们我们有一种非凡的能力，可以非常仔细地研究篮球投篮。他们第一个简单的问题是：“罚球的最好方法是什么？”投篮者应该瞄准篮筐的前部还是后部？这是否取决于投篮者是矮还是高？数学提供了一个独特的视角。它可以加快我们看到最佳投篮模式所需的时间。在大多数情况下，我们发现了球员和教练已经知道的东西——但偶尔，我们也会得到新的见解。模拟数百万次投篮 从数学的角度来看，篮球是一场关于抛物线的比赛。这些抛物线之所以独特，是因为当球在空中飞行时，其运动变化不大，但在与篮筐或篮板碰撞的毫秒内，其运动会迅速变化。为了在不花费太多时间运行代码的情况下模拟数百万次轨迹，我们尝试了所有我们能想到的技巧。我们弄清楚了如何从缓慢变化的运动过渡到快速变化的运动，例如当球弹到篮筐或篮板上时。我们学会了如何将大量的轨迹转化为统计概率。我们甚至创造了虚构的轨迹，其中球神奇地穿过所有物理障碍物（篮筐、篮板、背板），只留下一个，以查看它首先在哪里碰撞。
罚球是我和我的同事详细研究的第一个投篮。在接近的比分中，球队可以在罚球线上赢球或输球。此外，罚球不受干扰，因此在罚球上的完美可以带来丰厚的回报。顶尖球队往往罚球投得很好。
我们的程序可以告诉我们投篮者命中罚球的机会，并帮助我们弄清楚他做得对还是错。
分解罚球
我们花了大约五年时间研究了罚球。
我们从模拟和观看电视录像中学到的第一件事是，具有相同稳定性的球员，其罚球命中率可以在 75% 到 90% 之间。区别在于，90% 的球员能够保持正确的投篮——最佳轨迹。
一个罚球的命运从球离开球员指尖的那一刻就已注定，所以我们仔细研究了投篮的“初始条件”。球位于高于地面的某个高度。它具有向后旋转的速率（称为后旋），以及发射速度和发射角度。由于投篮者从未以完全相同的方式投篮，微小的差异就会导致投篮者的稳定性不同。
我们发现大约 3 赫兹的后旋是最佳量；超过这个量就没有帮助了。球到达篮筐大约需要 1 秒，所以 3 赫兹相当于在空中旋转三次，从球离开球员的手到到达篮筐。
接下来，假设球员从离地面 7 英尺的高度释放球，大约 52 度的发射角度是最佳的。在这个角度下，发射速度最低，投篮成功的概率最高。在 52 度下，投篮者可以偏离一两度而对投篮成功率没有太大影响。
然而，发射速度则恰恰相反。这是球员最难控制的变量。球释放得太慢，投篮就短；释放得太快，投篮就长。球员需要记住在释放过程中整个身体的动作，才能一致地赋予相同的速度。
在其他条件相同的情况下，从离地面更高处释放球的球员的投篮命中率更高。这很有趣，因为我们在北卡罗来纳州立大学的教练以及我谈过的其他人都说，身材较高的球员罚球命中率往往比身材矮小的球员差。似乎身材矮小的球员必须更努力。
最后一个释放条件是最令人惊讶的：罚球的瞄准点。我们发现，球员应该将球瞄准篮筐的后部。基本上，篮筐的后部比前部更容易容错。在 7 英尺的释放高度下，球和篮筐后部之间的间隙应小于 2 英寸。无论是在低或高的释放高度下，小间隙都是最佳的。
经验教训
那么，这一切对渴望提高罚球水平的球员意味着什么？
我们的研究表明，球员应该将球瞄准篮筐的中心之外。以高角度、尽可能高地从地面释放球。（球在最高点时，应达到篮板顶部。）使球对准，以消除侧角。并尝试以平稳的身体动作释放球，以产生一致的发射速度。
在过去的几年里，我们已经扩展了我们的工作，研究了最佳的打板投篮击中篮板的位置，并开发了一个工具供任何想要完善它的人使用。
随着锦标赛的临近，我回想起比赛已经变得多么激烈，以及它真正成为了一场“寸土必争”的比赛。作为一名老篮球运动员，和许多你一样，我喜欢看比赛——偶尔，也能瞥见那一次完美的罚球。
Larry M. Silverberg 是北卡罗来纳州立大学的机械与航空航天工程学教授。本文最初发表在The Conversation。
